El-Ghalda: Mei 2014

IAD-RELASI

RELASI

Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

$R_{AB} \subseteq A \times B$

Relasi dan fungsi proposisi

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Refleksif
Irefleksif
Simetrik
Anti-simetrik
Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R$

atau

$\forall_{a \in A}\quad a R a$

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R$

atau

$\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)$

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a$

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))$

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b$

Relasi $\leq$ bersifat anti-simetrik, karena $5 \leq 6$ mengakibatkan $\lnot (6 \leq 5)$ . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku $p \leq q$ dan $q \leq p$ berarti p = q.

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

$(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R$

atau

$\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}$

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

Refleksif
Simetrik, dan
Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

Refleksif
Anti-simetrik, dan
Transitif

Sumber;

http://matkdimasfun.blogspot.com/2011/12/relasi-dan-fungsi.html

IAD-Manfaat Radioisotop Bagi Kehidupan Sehari-hari

Manfaat Radioisotop Bagi Kehidupan Sehari-hari

Radioisotop Sebagai Perunut

Bidang Kedokteran
Ca-47, digunakan untuk mengetahui penyakit tulang dan darah.
I-131, digunakan untuk menentukan kelenjar gondok.
K-12, digunakan untuk menentukan penyakit pada otot.
Na-24, digunakan untuk mengetahui penyumbatan darah pada urat.
Tc-99 dan Tl-201, untuk mendeteksi kerusakan jantung.
Xe-133, untuk mendeteksi penyakit paru-paru.
· Untuk mengetahui keefektifan kerja jantung atau ginjal dengan Sodium-24.

· Menentukan lokasi tumor otak, mendeteksi tumor kelenjar gondok dengan Iodium-131

· Membunuh sel-sel kanker dalam tubuh manusia dengan Kobalt-60.

· Mengobati thrombosis (penyempitan pembuluh darah) dengan Natrium-24.

· Mensteril alat bedah, alat suntik dan alat kedokteran lain dengan sinar gamma.

Bidan Hidrologi
- Untuk mengukur kecepatan aliran air sungai, air tanah, dan minyak pada pipa.
- Untuk mendeteksi kebocoran pipa saluran dalam tanah.
- Untuk menentukan pengendapan lumpur
· Mengukur kecepatan aliran atau debit fluida dalam pipa.

· Menentukan jumlah kandungan air dalam tanah.

· Mendeteksi kebocoran pipa yang terbenam dalam tanah.

· Memeriksa endapan lumpur pelabuhan dan terowongan dan mengukur cara lumpur bergerak

dan terbentuk.

· Mengukur tinggi permukaan cairan dalam suatu wadah tertutup.

Bidang Industri
- Untuk mengetahui pengaruh oli dan aditif selama mesin bekerja

Bidang Kimia dan Biologi
- Untuk menentukan gugus O yang membentuk air pada reaksi esterifikasi dan mempelajari mekanisme reaksi fotosintesis, serta untuk mempelajari kesetimbangan dinamis pada reaksi kesetimbangan.

Radioisotop Sebagai Sumber Radiasi

Bidang Kedokteran
Co-60, untuk penyembuhan penyakit kanker dan bahan sterilisasi alat-alat kedokteran.
R-32, untuk penyembuhan penyakit leukemia.
I-131, untuk terapi kenker kelenjar tiroid.

Bidang Industri
- Untuk bidang radiografi pada pemotretan bagian dalam sebuah benda seperti sinar X, sinar Gamma atau neutron.
- Untuk mengontrol ketebalan pada industry kertas, plastic dan logam.
Mengetahui bocor atau tidaknya pipa logam atau mengukur ketebalan baja dengan sinar

gamma yang dipancarkan Kobalt-60 atau Iridium-192.

· Meneliti kekuatan material dan meneliti gejala difusi dalam logam.

· Mengukur ketebalan bahan (lembar kertas) dengan Strontium-90 atau sinar beta.

· Mengefisiensikan pekerjaan mengeruk lumpur pelabuhan dan terowongan dengan

memasukkan isotop Silikon ke dalam lumpur.

· Pemeriksaan tanpa merusak dengan teknik radiografi.

· Lampu petromaks menggunakan Thorium agar nyala lampu lebih terang

Bidang Pertanian
- Sebagai pemberantasan hama, pembentukan bibit unggul dan penyimpanan.

· Mempelajari unsur-unsur tertentu oleh tumbuhan.

· Memproduksi tanaman dengan karakteristik baru.

· Mengkaji proses fotosintesis dalam tanaman hijau dengan Karbon-14.

· Memandulkan serangga-serangga.

· Mendapatkan bibit unggul dengan radiasi sinar gamma dari Kobalt-60.

Sumber;

http://oktaviyaniayu.blogspot.com/2013/04/manfaat-radioisotop-bagi-kehidupan.html

IAD-HIMPUNAN DAN BILANGAN

HIMPUNAN DAN BILANGAN

Definisi Himpunan
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek. Objek dari suatu himpunan disebut sebagai anggota atau elemen dari himpunan tersebut.
Definisi:
Misalkan A dan B dua buah himpunan, maka

Gabungan dari A dan B ditulis

Irisan dari A dan B ditulis
Jumlah A dan B ditulis

Komplemen dari A ditulis
Pengurangan A oleh B ditulis

Lemma 1.1: Himpunan kosong adalah bagian dari semua himpunan

Definisi:
Misalkan

adalah suatu himpunan, maka dapat dinotasikan sebagai berikut

Contoh Soal:
1. Misal a anggota bilangan real

Buktikan a = 0
Jawab:
Andaikan a tidak bernilai nol, misal a>0
pilih

karena
maka
   kontradiksi
sehingga bukti selesai
jadi terbukti a = 0
2. Jika a dan b anggota bilangan real dan a < b
maka buktikan bahwa

Jawab:
karena a < b maka a +a < a+ b
2a < a+b
a < (a+b)/2

karena a < b maka a +b < b+ b
a + b < 2b
(a+b)/2 < b
sehingga
   terbukti
3. Buktikan

Jawab:
Andaikan

maka

merupakan kelipatan 2
klaim p kelipatan 2
andaikan

maka bukan kelipatan 2 (hal ini kontradiksi)
sehingga p merupakan kelipatan 2
andaikan
p =2m

     merupakan kelipatan 2
klaim q kelipatan 2 (pembuktian sepertian pembutktian mencari p)
sehingga diperoleh (p,q) = 3>1 kontradiksi
sehingga bukti selesai dan terbukti bahwa

Sumber ;

http://bmatesma.blogspot.com/2013/02/definisi-himpunan.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan

Sabtu, 10 Mei 2014

IAD-RELASI

IAD-Manfaat Radioisotop Bagi Kehidupan Sehari-hari

IAD-HIMPUNAN DAN BILANGAN